1. Фашисты поймали трёх бессмертных эльфов. После чего объяснили им что с ними будут делать завтра, и дали время на выработку совместной стратегии (посадили на ночь в общую камеру). Утром же - написали каждому эльфу на лбу по одному натуральному (целому положительному) числу, дали время полюбоваться на лбы коллег, и развели по одиночным камерам. Каждый эльф знает числа на лбу двух других эльфов, но не знает своего (зеркала в камере нет). Обмениваться информацией нельзя - любая попытка как-то подмигнуть или сделать жест при разглядывании лбов - расстрел всех троих на месте. Далее каждый эльф должен предоставить список неких чисел, и если хотя бы у одного эльфа в его списке будет упомянуто число на его лбу - всех отпустить, если не угадал ни один - всех расстрелять. Эльфы бессмертны, рейх вечен - поэтому чтобы не застрять в камере до конца вечности, список может быть пусть длинным, но должен быть все-таки конечным.
Задачка уровня "олимпиадной для пятого класса", ответ найти легко. Поскольку три числа (A, B, C) можно отсортировать по значению "больше-меньше" (A<=B<=C), то число, попавшее в середину (B), окажется в списке "всех натуральных чисел между A и C, включая сами A и C" (вырожденные случаи, когда какие-то числа равны между собой, можно рассмотреть отдельно). То есть если каждый эльф тупо напишет все натуральные числа между теми, которые видит он, включая их самих - один из троих точно угадает, а интервал между целыми числами - конечен.
2. Фашисты крайне расстроились тому, что пришлось отпустить эльфов, и поймали ещё троих. И написали им на лбу по рациональному числу! В виде простой дроби вида A/B. Условия те же - каждый эльф составляет список рациональных чисел, хотя бы один должен угадать своё. Интервал между рациональными числами содержит бесконечное количество чисел, и хотя эльфы и бессмертны, конечный список им не составить. Или нет?
Задачка своеобразная: тот, кто решил предыдущую, и хотя бы на начальном уровне знает теорию множеств, скажет "а чего тут думать-то", остальные могут застрять надолго. Вкратце - существует очень простое взаимно-однозначное отображение между целыми и рациональными числами (каждому целому числу ставится в соответствие одно и только одно рациональное, и наоборот, см. ссылку ниже), а значит каждый эльф может отобразить числа на лбах коллег в множество целых чисел, выписать все промежуточные целые числа, отобразить список обратно в рациональные, и получить ответ. Ещё это означает, что целых и рациональных чисел "одинаковое количество" (да, и тех и тех бесконечно много, но бесконечности бывают разные), и - к слову - действительных чисел больше чем целых, это тоже доказано.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Рациональное_число#Счётность_множества_рациональных_чисел
3. Поскольку среди эльфов оказался один, интересовавшийся человеческой наукой и знавший теорию множеств, этих эльфов тоже пришлось отпустить.
И тогда фашисты поймали ещё трёх эльфов, и написали им на лбу по действительному числу! Ведь действительные числа нельзя взаимно-однозначно отобразить на целые, и тут любой интервал уже будет точно бесконечным. Или нет?
Не будем углубляться в то, как можно записать на лбу действительное число (мне приходит в голову только идея рисовать отрезки, отношения длин которых и дают число, но возможно есть и другие варианты). Требуется лишь доказать, что если верна аксиома выбора и континуум-гипотеза, то у эльфов есть выигрышная стратегия.
https://avva.livejournal.com/2689750.html?thread=99931350#t99931350 (комментарий, не сам пост)
И вот тут у меня происходит деление на ноль. Потому что хотя решение там как бы приведено, и даже есть небольшое его обсуждение, я это читаю на уровне "прочитал, понял почти все слова, не смог сложить их в предложения". При том что для самих математиков, судя по краткости формулировки, оно столь же тривиально, сколь и предыдущее.
И кого-нибудь, кто понял что там написано, и смог бы это объяснить человеческим языком, я ищу до сих пор. Ну, и - снова аксиома выбора, и снова - странные следствия из неё :-)