Дмитрий Радищев (dibr) wrote,
Дмитрий Радищев
dibr

в степени икс


     Размышляя над тем, «что смешнее, приколы вроде вида «25/5=14» [кстати, кто не смотрел - советую (english required)] или шутки вроде «шла террористка по метро, увидела поезд стоит, села в него и взорвалась(*)»», вспомнил про функцию возведения в степень (реализованную над полем действительных чисел). Да, ту самую, что в школе проходят, которая "a в степени n - это a умноженное само на себя n раз". Она, если повнимательней посмотреть, тоже местами как тот "ситец весёленьких расцветочек(**)" - прямо обхохочешься, даром что из школьной программы.

     Напомню. Для целочисленного положительного показателя степени an - это a умноженное само на себя n раз. Для степени вида a1/n - это такое число c, что cn=a. Для am/n - это (am)1/n. Как вводится понятие степени для иррациональных показателей - лучше не задумываться, мозг целее будет (либо через предел, либо через комплексные числа).

     Копнём поглубже (для простоты - копать будем только на поле действительных чисел, и только для степени (-1)x, x>=0).
     (-1)1=-1. Это понятно.
     (-1)0=1. Нулевая степень вводится отдельно, "ручками", поэтому "дети, понять это невозможно, запомните это".
     (-1)2=1. И так для любой чётной степени (в смысле, (-1)2n=1). Для любой нечётной - (-1)2n+1=-1. Это тоже понятно.
     (-1)1/2=NaN (в смысле, не существует). И так для любой (-1)1/(2n) - нужно число, которое в чётной степени давало бы -1, а чётные степени всегда неотрицательны.
     (-1)1/3=-1. И так для любого корня нечётной степени (-1)1/(2n+1), что, в-общем, тоже понятно. А вот (-1)2/3=1, ибо это ((-1)2)1/3, то есть "корень третьей степени из +1", а он равен +1.

     Пока вроде всё хорошо, верно? Продолжаем :-)
     (-1)m/2n - не существует для любых целых m и n (таких, что m и 2n - взаимно простые числа). Для взаимно простых m и (2n+1), (-1)m/(2n+1)=-1 если m - нечётное, и (-1)m/(2n+1)=1 если m - чётное. При этом, напомню, (-1)2n+1=-1, а (-1)2n=1. А в иррациональных точках (-1)x определяется с помощью хитрой магии, которую я, честно говоря, так и не понял.

     То есть, скажем, (-1)1999999/999998 не существует, ибо 999998 - чётное, (-1)1999999/999999=-1, ибо и числитель и знаменатель - нечётные, зато (-1)2000000/999999=1, поскольку числитель чётный, а знаменатель - нет, но (-1)2000000/1000000 опять равен 1 ибо это тупо (-1)2. При этом "почти везде" (иррациональных чисел "намного больше", чем рациональных) степень определена при помощи "магии" (пределов или ТФКП); NaN, +1 и -1 не просто "чередуются" (то же самое верно и для 199/99, и для 1999999999999/999999999999, и для любой конечной длины дроби), а "хитрым образом перемешаны, фиг пойми как" (в частности, сколь угодно близко к произвольной точке с NaN найдётся точка с -1, и наоборот); а с периодичностью 2 (в каждой чётной точке) степень внезапно превращается в 1. При этом если "для простоты" доопределить степень в точках (-1)m/2n при помощи той же магии, которая применяется для иррациональных показателей степени (например, через предел, чтобы степень была определена на всём луче x>=0), или переопределить степень в чётных точках (например, через тот же предел - получится опять (-1)) - подозреваю, что математика "сломается" так, что в школе вместо корней квадратного уравнения придётся продолжать учить счёт на счётных палочках (впрочем, ТФКП скорее всего выстоит, хотя - не уверен).

     И это - понятие "степени" в том виде, в котором его дают в школе! Классе в шестом примерно, если не в пятом. И только для тривиального (-1)x - а если заняться изучением какого-нибудь (-π)x, да ещё для отрицательных x? Всё ведь на самом деле очень просто, не правда ли - школьная ведь программа, причём совсем не старших классов? ;-)


     (*) интересно, что языковая среда явно требует создания меметического маркера для обозначения "несмешного из-за затёртости анекдота" (именно не "анекдота с бородой", а истёршегося из-за частого упоминания). Во времена фидошные эту роль выполнял "анекдот про курочку и яичко", потом фидошники разбежались и растворились среди интернетчиков, анекдот про курочку был утрачен как массовый мем... и относительно недавно возродился в виде "горящего медведя".

     (**) тоже анекдот:
         - Алё, это магазин "ткани"?
         - [мрачно] Да.
         - А скажите, у вас есть бязь, такая чтобы светло-голубенькая?
         - Да, есть.
         - А есть у вас ещё гипюр, светлый, и чтобы в ажурный такой цветочек?
         - Да, есть.
         - А есть у вас ещё ситец, такой чтобы весёленьких расцветочек?
         - Приезжайте. Обхохочетесь.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 44 comments