Скажем, приходят ко мне с двумя бумажками. И говорят, что тут в соседней комнате бросали десять раз монету (идеальную, симметричную), и записывали выпавшее в виде "0" и "1" на бумажке, а на другой такой же бумажке тем временем скучающий студент ручку расписывал, и тоже писал нолики и/или единички. А потом бумажки перемешались, а результат этого конкретного бросания ну очень важен, но где какой мы не знаем, и короче что про это может сказать современная наука, помоги.
Я смотрю на бумажки, вижу на первой "0111000101", а на второй "1111111111", и сразу говорю себе "все единички не бывают!" Ну, то есть, вероятность выпадения всех единиц мала, не то что вероятность выпадения какой-то фигни вразнобой - вот сами попробуйте бросить монетку, фиг все единицы выпадут, обязательно фигня какая-то. А значит, скорее всего выпало то, что на первой бумажке.
Но на всякий случай решаю убедиться. И иду к специалисту по мат.статистике (сидит у экспериментаторов, достоверность данных им проверяет). Тот смотрит на бумажки, и говорит. Что, сам понимаешь, конкретно эту серию бросков уже не вернёшь, но можно проверить статистическую гипотезу, что записанное есть броски монеты, а там сравнить. Дальше он рисует какие-то мат.ожидания, доверительные интервалы, и после долгого суммирования единичек сообщает. Что на первом листке - почти наверняка результат бросания монеты (мат.ожидание в точности равно среднему по выборке и равно 0.5), а на втором - почти наверняка нет (среднее - 1.0, а мат.ожидание 0.5, что никуда не годится).
Я успокаиваюсь - интуиция ведь бывает что и работает, не всё же когнитивными искажениями заниматься, но для очистки совести поднимаюсь на этаж к чистым теоретикам - к специалисту по теории вероятностей.
И вхожу я, значит, в кабинет, и объясняю этому математику задачу - мол, бросали монетку, и тут вот последовательность, а тут не последовательность, "но это не точно", и надо понять, с какой вероятностью эта последовательность - последовательность, а та - нет, а с какой - наоборот, "вот, посмотрите". А он такой переворачивает оба листочка цифрами вниз, смотрит на меня добрым взглядом слегка усталого психиатра, и говорит. Что для десяти бросаний идеальной и симметричной монетки вероятность выпадения любой последовательности из десяти результатов равна вероятности одного бросания в десятой степени, то есть 1/1024. И что это не зависит от собственно последовательности, поэтому на листики он даже смотреть не будет - вероятность выпадения последовательности на любом из них одинакова, и ничего утешительного тут сказать нельзя.
"Но как же так" - переворачиваю листики я - "ведь тут 0111000101, а тут 1111111111, а всех единиц не бывает! Мат. ожидание опять же?"
Ну ок, давай считать. Вероятность выпадения 1111111111 - это вероятность выпадения 1, то есть 1/2, умноженная сама на себя десять раз. То есть, 1/1024 - действительно, вероятность довольно низкая.
А 0111000101 давай считать поштучно. Вероятность выпадения первой цифры - 0 - это 1/2. Дальше идёт цифра 1 - умножаем на опять 1/2, это уже 1/4. На третьей позиции цифра 1 - то есть умножаем ещё на 1/2, это 1/8. Так поштучно умножаем десять раз 1/2, и получаем снова 1/1024. То есть выпадение 0111000101 - столь же маловероятно, сколь и выпадение 1111111111.
Доступно? И вообще - не отвлекай от высоких дум и чистой математики, и не прогуливай уроки.
И вот иду я назад, и не понимаю. Ведь с одной стороны ясно, что вряд ли там могло выпасть 1111111111, а 0111000101 выглядит куда разумнее. И специалист по мат.статистике подтверждает - и все слова вроде умные при этом говорит, да и в его учебниках та же фигня написана. Но с другой стороны - ведь и правда, совершенно очевидно, что вероятность выпадения любой конкретной последовательности в этом случае одинакова (и равна 1/1024), а значит ничего-то мы сказать не можем, бери любую бумажку и ошибись с вероятностью 1/2.
Так как правильно-то?!?!
(моя версия - в первом комментарии)